8.2 三重积分
8 重积分 · 共 27 题
第1题计算题
1．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, x+y+z \leqslant a\}, a$ 为常数．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，区域 $\displaystyle \Omega$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x y+y z+z x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle x \geqslant 0, y \geqslant 0,0 \leqslant z \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 所围成．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是第一象限中由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x y}$ 与平面 $\displaystyle y=x, x=1, z=0$ 所围成的区域．
（5） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x} y^{2} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由曲面 $\displaystyle z=x y, y=x, z=0, x=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x+y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中由下列平面 $\displaystyle y=1, y=-x, x=0, z=0, z=-x$ 所围成的闭区域．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由平面 $\displaystyle x=1, x=2, z=0, y=x$ 与 $\displaystyle z=y$ 所围成的区域．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} y \cos (x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 由抛物柱面 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}, y=0, z=0$ 所围成的有界区域．
（9） $\displaystyle \iiint_{\Omega} y(x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 由抛物柱面 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}, y=0, z=0$ 所围成的有界区域。
（10） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面 $\displaystyle x=0, x=1$ 和曲面 $\displaystyle x^{2}+1=\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}$ 所围成。
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, x+y+z \leqslant a\}, a$ 为常数．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，区域 $\displaystyle \Omega$ 由 $\displaystyle x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x y+y z+z x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle x \geqslant 0, y \geqslant 0,0 \leqslant z \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 所围成．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是第一象限中由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x y}$ 与平面 $\displaystyle y=x, x=1, z=0$ 所围成的区域．
（5） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x} y^{2} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由曲面 $\displaystyle z=x y, y=x, z=0, x=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{x+y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中由下列平面 $\displaystyle y=1, y=-x, x=0, z=0, z=-x$ 所围成的闭区域．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由平面 $\displaystyle x=1, x=2, z=0, y=x$ 与 $\displaystyle z=y$ 所围成的区域．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} y \cos (x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 由抛物柱面 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}, y=0, z=0$ 所围成的有界区域．
（9） $\displaystyle \iiint_{\Omega} y(x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 由抛物柱面 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ ，平面 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}, y=0, z=0$ 所围成的有界区域。
（10） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面 $\displaystyle x=0, x=1$ 和曲面 $\displaystyle x^{2}+1=\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}$ 所围成。
中国科学技术大学 2000华南理工大学 2002南京大学 2008大连理工大学 2009吉林大学 2010武汉大学 2010广西师范大学 2011重庆大学 2011
+2
第2题计算题
2．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, V$ 是实心球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, \alpha>0$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和圆锥 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 之间的部分．
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 围成的闭区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{z \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega: 4 \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 16, z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\alpha} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, V$ 是实心球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, \alpha>0$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和圆锥 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 之间的部分．
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 围成的闭区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{z \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \pi^{2} \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 \pi^{2}$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega: 4 \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 16, z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\right)^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ 。
北京大学 2000武汉大学 2003上海理工 2004中国地质大学 2004西北工业 2005辽宁大学 2005东北师范大学 2007北京大学 2009
+3
第3题计算题
3．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 与上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 a^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}(x+z) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成。计量学院 2008，武汉科技 2007，东华大学 2003）
（3） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left[(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x+|y|+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, ~ V$ 是实心球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x-a)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \geqslant 0, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}\right\}$ 。电子科技 2005 ，兰州大学2007（ $\displaystyle R=1$ ））
（9） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}-x^{2} y+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
分析：由于 $\displaystyle \Omega$ 是球体，被积函数形如 $\displaystyle f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，故选用球坐标计算，此时 $\displaystyle \mathrm{d} V=r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta$ ，
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta
$$
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 与上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 a^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}(x+z) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成。计量学院 2008，武汉科技 2007，东华大学 2003）
（3） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left[(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（5） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（6） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x+|y|+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, ~ V$ 是实心球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x-a)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ ．
（8） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \geqslant 0, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}\right\}$ 。电子科技 2005 ，兰州大学2007（ $\displaystyle R=1$ ））
（9） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}-x^{2} y+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ．
分析：由于 $\displaystyle \Omega$ 是球体，被积函数形如 $\displaystyle f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，故选用球坐标计算，此时 $\displaystyle \mathrm{d} V=r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta$ ，
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta
$$
武汉科技大学 2006四川大学 2007东华大学 2009湖南师范大学 2011中南大学 2013昆明理工大学 2013
第4题计算题
4．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ 围成的闭区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 z$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 z$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 a(x+y+z)+2 a^{2}=0(a>0)$ 所围成的闭区域．
（5） $\displaystyle \iiint_{D} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle D$ 为夹在两球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z$ 之间的部分。（武汉大学 2002，同济大学 2002，湘潭 大学 2007（ $\displaystyle a=2$ ））
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ 围成的闭区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 z$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 z$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 a(x+y+z)+2 a^{2}=0(a>0)$ 所围成的闭区域．
（5） $\displaystyle \iiint_{D} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle D$ 为夹在两球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z$ 之间的部分。（武汉大学 2002，同济大学 2002，湘潭 大学 2007（ $\displaystyle a=2$ ））
北京大学 1997上海财经大学 2002湖南农业大学 2008中国科学院 2010
第5题计算题
5．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 所围成的立体。
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 围成的立体。（首）都师大 2000）
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle \sqrt{2-x^{2}-y^{2}}=z$ 与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（5） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \frac{1}{2}$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z(R>0)$ 的公共部分．
（8） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2} \leq 4$ 。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=1, z=2$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成。
（10） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2}, 2 \leqslant z \leqslant 8$ ．
分析：采用＂球面坐标变换＂＂先二重后一重＂的累次积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 所围成的立体。
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 与抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=3 z$ 围成的立体。（首）都师大 2000）
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle \sqrt{2-x^{2}-y^{2}}=z$ 与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（4） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（5） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 与曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体．
（6） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \frac{1}{2}$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z(R>0)$ 的公共部分．
（8） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2} \leq 4$ 。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=1, z=2$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成。
（10） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2}, 2 \leqslant z \leqslant 8$ ．
分析：采用＂球面坐标变换＂＂先二重后一重＂的累次积分．
中国科学院 1983苏州大学 2000西北工业 2003西安理 2005中国地质大学 2006中国计量学院 2007宁波大学 2007北京工业大学 2008
+4
第6题计算题
6．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 与平面 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=4$ 围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示。
（5） $\displaystyle \iiint_{V}\left[(z-y)^{2}+(y-x)^{2}+(x-z)^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 与平面 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=4$ 围成。
（3） $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示。
（5） $\displaystyle \iiint_{V}\left[(z-y)^{2}+(y-x)^{2}+(x-z)^{2}\right] \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 表示．
中南大学 2003云南大学 2004武汉科技大学 2005南开大学 2009北京大学 2014首都师范大学 2014
第7题计算题
7．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面图 $\displaystyle z=-1, z=1$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}(x+2 y+3 z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|z| \leqslant 1$ ．•
（5） $\displaystyle \iiint_{V} z \sqrt{1-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}=1, z=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z>0)$ 以及平面 $\displaystyle z=h(h>1)$ 所围成的立体。
（8） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与平面 $\displaystyle z=h>0$ 所围成的空间区域。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{(b-x) \mathrm{d} V}{\sqrt{(b-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, \quad b>a>0$ ．
（10） $\displaystyle \iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为介于 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 之间的部分。．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{V}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 与平面图 $\displaystyle z=-1, z=1$ 所围成的区域．
（4） $\displaystyle \iiint_{V}(x+2 y+3 z)^{2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|z| \leqslant 1$ ．•
（5） $\displaystyle \iiint_{V} z \sqrt{1-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}=1, z=1$ 所围成。
（6） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ ．
（7） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z>0)$ 以及平面 $\displaystyle z=h(h>1)$ 所围成的立体。
（8） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与平面 $\displaystyle z=h>0$ 所围成的空间区域。
（9） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{(b-x) \mathrm{d} V}{\sqrt{(b-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, \quad b>a>0$ ．
（10） $\displaystyle \iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为介于 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 之间的部分。．
广西师范大学 2001北京大学 2002安徽大学 2004山西大学 2005山东科技大学 2006云南大学 2007重庆大学 2007南京理工大学 2009
+5
第8题计算题
8．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围成的 $\displaystyle x y$ 面以上部分．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} f\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1 .(f(t)=\sqrt{1-t}$ ：郑州大学 2007；$\displaystyle f(t)=t$ ：河南师大 2013，湖北大学 2007，山东大学 2007，河海大学 2006，南京农大 2009，海南师大 2012，陕西师大1997，矿业大学2010，曲阜师大 2009（ $\displaystyle a=b=c=1$ ）；$\displaystyle f(t)=\ln t$ ：广西民大 2010）
（3） $\displaystyle \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 在第一卦限的部分．（华中科技
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的内部区域．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围成的 $\displaystyle x y$ 面以上部分．
（2） $\displaystyle \iiint_{V} f\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1 .(f(t)=\sqrt{1-t}$ ：郑州大学 2007；$\displaystyle f(t)=t$ ：河南师大 2013，湖北大学 2007，山东大学 2007，河海大学 2006，南京农大 2009，海南师大 2012，陕西师大1997，矿业大学2010，曲阜师大 2009（ $\displaystyle a=b=c=1$ ）；$\displaystyle f(t)=\ln t$ ：广西民大 2010）
（3） $\displaystyle \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 在第一卦限的部分．（华中科技
（4） $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的内部区域．
深圳大学 2004电子科技大学 2004上海理工 2005湘潭大学 2005东北师范大学 2007安徽大学 2008河北大学 2010广西民族大学 2011
+3
第9题计算题
9．设 $\displaystyle V$ 是由曲面 $\displaystyle x^{2}+\frac{1}{2}(y-z)^{2}=R^{2}, z=0, z=h$ 所围成的区域，计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(y-z)^{3} \arctan z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
（1） $\displaystyle \iiint_{V}(y-z) \arctan z \mathrm{~d} V$ 。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(y-z)^{3} \arctan z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
上海交大 2003北京科技大学 2006上海交大 2007
第10题计算题
10．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{2 z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由平面图形 $\displaystyle D:\left\{(x, y, z) \mid x=0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, z^{2}+y^{2} \leqslant 1,2 y-z \leqslant 1\right\}$绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所生成的立体．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与平面 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} \frac{2 z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\displaystyle V$ 由平面图形 $\displaystyle D:\left\{(x, y, z) \mid x=0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, z^{2}+y^{2} \leqslant 1,2 y-z \leqslant 1\right\}$绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所生成的立体．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与平面 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 由平面曲线 $\displaystyle D:\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面与 $\displaystyle z=4$ 所围成的区域．
上海师范大学 2000上海师范大学 2001中国科学院 2003辽宁大学 2004河北大学 2009河南师范大学 2010河北大学 2014
第11题计算题
11．计算下列三重积分．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=a y^{2}, z=b y^{2}, y>0,0<a<b, z=\alpha x, z=\beta x, 0<\alpha<\beta$ ， $\displaystyle z=h(h>0)$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 位于第一象限且由曲面 $\displaystyle z=p\left(x^{2}+y^{2}\right), z=q\left(x^{2}+y^{2}\right), x y=a$ ， $\displaystyle x y=b, y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成。这里 $\displaystyle 0<p<q, 0<a<b, 0<\alpha<\beta$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x+y-z \leqslant 10,0 \leqslant x-y+z \leqslant 10$ ， $\displaystyle 0 \leqslant y+z-x \leqslant 10\}$ ．
（1） $\displaystyle \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=a y^{2}, z=b y^{2}, y>0,0<a<b, z=\alpha x, z=\beta x, 0<\alpha<\beta$ ， $\displaystyle z=h(h>0)$ 所围成。
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 位于第一象限且由曲面 $\displaystyle z=p\left(x^{2}+y^{2}\right), z=q\left(x^{2}+y^{2}\right), x y=a$ ， $\displaystyle x y=b, y=\alpha x, y=\beta x$ 所围成。这里 $\displaystyle 0<p<q, 0<a<b, 0<\alpha<\beta$ ．
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x+y-z \leqslant 10,0 \leqslant x-y+z \leqslant 10$ ， $\displaystyle 0 \leqslant y+z-x \leqslant 10\}$ ．
华中科技 2009南开大学 2010广州大学 2011
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数，则有 $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1} f(u)\left(1-u^{2}\right) \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [-k, k]$ 上的连续函数．试证：
$$
\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right) f(k u) \mathrm{d} u \text {, 其中 } k=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>0 \text {. (浙江大学 } 2008 \text {, }
$$
南京大学 2007，厦门大学 2006 ，广州大学 $\displaystyle 2010 ; f(t)=\cos t$ ：浙江大学 2006 ，上海交大 2006 ，南开大学 1985 ，厦门大学 2008／2012）
（3）记 函数 $\displaystyle F(a, b, c)=\iiint_{V} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ，试 证 明：球 面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 为函数 $\displaystyle F(a, b, c)$ 的等值面，即 $\displaystyle F(a, b, c)$ 在球面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 上恒为常数，并求出此常数．
提示：采用＂先二后一＂的方法
（1）设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数，则有 $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1} f(u)\left(1-u^{2}\right) \mathrm{d} u$ ．
（2）设 $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [-k, k]$ 上的连续函数．试证：
$$
\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<1} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right) f(k u) \mathrm{d} u \text {, 其中 } k=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}>0 \text {. (浙江大学 } 2008 \text {, }
$$
南京大学 2007，厦门大学 2006 ，广州大学 $\displaystyle 2010 ; f(t)=\cos t$ ：浙江大学 2006 ，上海交大 2006 ，南开大学 1985 ，厦门大学 2008／2012）
（3）记 函数 $\displaystyle F(a, b, c)=\iiint_{V} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ ，试 证 明：球 面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 为函数 $\displaystyle F(a, b, c)$ 的等值面，即 $\displaystyle F(a, b, c)$ 在球面 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 上恒为常数，并求出此常数．
提示：采用＂先二后一＂的方法
北京理工大学 1995广西师范大学 2001浙江大学 2007华中师范大学 2009广西师范大学 2009昆明理工大学 2009
第13题未分类
13．化下列积分为累次积分．
（1）将积分 $\displaystyle \iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 分别用直角坐标、柱面坐标和球面坐标表示为一个逐次积分，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 所围成的区域．
（2）将积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V$ 化为：（1）直角坐标，（2）柱面坐标，（3）球面坐标下的三次积分，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)$ 所围成的立体。
（1）将积分 $\displaystyle \iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 分别用直角坐标、柱面坐标和球面坐标表示为一个逐次积分，其中 $\displaystyle V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 所围成的区域．
（2）将积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V$ 化为：（1）直角坐标，（2）柱面坐标，（3）球面坐标下的三次积分，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)$ 所围成的立体。
浙江师范大学 2006浙江师范大学 2010
第14题未分类
14．交换积分顺序．
（1）将积分 $\displaystyle J=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle y$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的积分．
（2）将 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{x+y} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle y$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle x$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle x$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的累次积分．
（1）将积分 $\displaystyle J=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle y$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的积分．
（2）将 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{x+y} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle y$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle z$ ，最后对 $\displaystyle x$ 的累次积分；先对 $\displaystyle y$ 再对 $\displaystyle x$ ，最后对 $\displaystyle z$ 的累次积分．
西安交大 1998南京师范大学 2005广西师范大学 2006
第15题计算题
15．计算累次积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} y \sqrt{1+z^{4}} \mathrm{~d} z$ ．（电子科大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{1}^{1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \frac{\mathrm{~d} z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} z^{2} \mathrm{~d} z$ ．
（4）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\frac{y}{2}} \frac{\cos z}{(2 z-1)^{2}} \mathrm{~d} z$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} y \sqrt{1+z^{4}} \mathrm{~d} z$ ．（电子科大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{1}^{1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \frac{\mathrm{~d} z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} z^{2} \mathrm{~d} z$ ．
（4）$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\frac{y}{2}} \frac{\cos z}{(2 z-1)^{2}} \mathrm{~d} z$ ．
北京理工大学 2007电子科大 2007南开大学 2009桂林电子科技 2009聊城大学 2010
第16题求解题
16．求立体的体积．
（1）求由曲面 $\displaystyle a z=x^{2}+y^{2}(a>0)$ 和 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体的体积．（中南大学 2002，桂林电子科技 2013（ $\displaystyle a=2$ ））
（2）求由圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 所围立体的体积．
（3）求由曲面 $\displaystyle z=6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+2 y^{2}$ 所围立体的体积．（桂林电子科大 2010）
（4）求由锥面 $\displaystyle z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，平面 $\displaystyle z=0$ 及圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围立体的体积．
（5）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 R^{2}$ 的内部被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 R x$ 所划出的部分的体积．（太原理工 2008（ $\displaystyle a=2 R, z>0$ ），福建师大 2004）
（6）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$ 所围成的空间区域的体积．
（7）求由半径为 $\displaystyle a$ 的球面与顶点在球心，顶角为 $\displaystyle 2 \alpha$ 的圆锥面所围成的区域的体积 $\displaystyle \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（8）求由圆锥体 $\displaystyle z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}$ 所围成的立体的体积 $\displaystyle (a>0)$ ．
（9）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+a z=4 a^{2}$ 将球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 a z$ 分成两部分的体积之比．
（1）求由曲面 $\displaystyle a z=x^{2}+y^{2}(a>0)$ 和 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体的体积．（中南大学 2002，桂林电子科技 2013（ $\displaystyle a=2$ ））
（2）求由圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 所围立体的体积．
（3）求由曲面 $\displaystyle z=6-\left(2 x^{2}+y^{2}\right)$ 与 $\displaystyle z=x^{2}+2 y^{2}$ 所围立体的体积．（桂林电子科大 2010）
（4）求由锥面 $\displaystyle z=\frac{h}{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，平面 $\displaystyle z=0$ 及圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围立体的体积．
（5）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 R^{2}$ 的内部被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 R x$ 所划出的部分的体积．（太原理工 2008（ $\displaystyle a=2 R, z>0$ ），福建师大 2004）
（6）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$ 所围成的空间区域的体积．
（7）求由半径为 $\displaystyle a$ 的球面与顶点在球心，顶角为 $\displaystyle 2 \alpha$ 的圆锥面所围成的区域的体积 $\displaystyle \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（8）求由圆锥体 $\displaystyle z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2} \leqslant a^{2}$ 所围成的立体的体积 $\displaystyle (a>0)$ ．
（9）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+a z=4 a^{2}$ 将球体 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 a z$ 分成两部分的体积之比．
浙江大学 2001华南师大 2002华东理工大学 2003重庆大学 2003南开大学 2008杭州师大 2009桂林电子科大 2010中山大学 2014
第17题计算题
17．求立体的体积．
（1）计算由抛物面 $\displaystyle z=2 x^{2}+y^{2}$ 及抛物面 $\displaystyle z=2-y^{2}$ 所围立体的体积．
（2）求平面 $\displaystyle z=0$ ，圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ ，锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的曲顶柱体的体积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}+2 y-1}$ 与平面 $\displaystyle z=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 所围成的立体的体积．（电子科大 2010）
（4）求以曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ 为顶，以平面 $\displaystyle z=0$ 为底，以柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 为侧面的曲顶柱体的体积 V．
（5）计算由下列曲面 $\displaystyle z=x y, x+y+z=1, z=0$ 所围立体的体积．
（6）设空间闭区域 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 及 $\displaystyle x y=a^{2}, x y=2 a^{2}, x=2 y, 2 x=y$ ， $\displaystyle x>0, y>0$ 所围成，试求 $\displaystyle V$ 的体积．
（1）计算由抛物面 $\displaystyle z=2 x^{2}+y^{2}$ 及抛物面 $\displaystyle z=2-y^{2}$ 所围立体的体积．
（2）求平面 $\displaystyle z=0$ ，圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 x$ ，锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的曲顶柱体的体积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}+2 y-1}$ 与平面 $\displaystyle z=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 所围成的立体的体积．（电子科大 2010）
（4）求以曲面 $\displaystyle z=\mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ 为顶，以平面 $\displaystyle z=0$ 为底，以柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 为侧面的曲顶柱体的体积 V．
（5）计算由下列曲面 $\displaystyle z=x y, x+y+z=1, z=0$ 所围立体的体积．
（6）设空间闭区域 $\displaystyle V$ 由曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 及 $\displaystyle x y=a^{2}, x y=2 a^{2}, x=2 y, 2 x=y$ ， $\displaystyle x>0, y>0$ 所围成，试求 $\displaystyle V$ 的体积．
浙江大学 2000北京师范大学 2003天津大学 2004电子科大 2010山东科技大学 2011湖南师范大学 2013
第18题求解题
18．求立体的体积．
（1）求由椭圆抛物面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{36} \leqslant 2 z$ 和 $\displaystyle \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12} \leqslant 2(2-z)$ 所围成的区域的体积．
（2）求由椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与锥面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0(z \geqslant 0)$ 所围成的立体的体积．
（3）用两种方法求椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 的体积．（扬州大学 2005 ，中科大－中科院 2006，南京大学 1998（ $\displaystyle a=1 / 2, b=c=1$ ），矿业大学 2006）
（4）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x}{h}(a>0, b>0, c>0, h>0)$ 所围成的区域的体积．
（5）计算由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 所围成的立体的体积．（华南理 $\displaystyle I ~ 2008$ ，太原科技 $\displaystyle 2007 / 2010$ ，重庆大学 2005，湖南农大 2010，电子科技 2001，重庆师大 2004（ $\displaystyle a=b=c=1$ ））
（6）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{3}=\frac{x y z}{a b c}$ 所围成的立体的体积。
（7）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c}\right)^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, a>0, b>0, c>0)$ 所围成的几何体的体积，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为正常数
（8）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+z^{4}=y$ 所围成的几何体的体积．
（9）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)(a>0)$ 所围成的立体的体积．
（1）求由椭圆抛物面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{36} \leqslant 2 z$ 和 $\displaystyle \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12} \leqslant 2(2-z)$ 所围成的区域的体积．
（2）求由椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 与锥面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0(z \geqslant 0)$ 所围成的立体的体积．
（3）用两种方法求椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 的体积．（扬州大学 2005 ，中科大－中科院 2006，南京大学 1998（ $\displaystyle a=1 / 2, b=c=1$ ），矿业大学 2006）
（4）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x}{h}(a>0, b>0, c>0, h>0)$ 所围成的区域的体积．
（5）计算由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 所围成的立体的体积．（华南理 $\displaystyle I ~ 2008$ ，太原科技 $\displaystyle 2007 / 2010$ ，重庆大学 2005，湖南农大 2010，电子科技 2001，重庆师大 2004（ $\displaystyle a=b=c=1$ ））
（6）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{3}=\frac{x y z}{a b c}$ 所围成的立体的体积。
（7）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}+\left(\frac{z}{c}\right)^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, a>0, b>0, c>0)$ 所围成的几何体的体积，其中 $\displaystyle a, b, c$ 均为正常数
（8）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+z^{4}=y$ 所围成的几何体的体积．
（9）求由曲面 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)(a>0)$ 所围成的立体的体积．
中南大学 2000西北大学 2000华东师范大学 2001复旦大学 2001青岛理I 2001华东理工大学 2002电子科技大学 2002湖南大学 2003
+9
第19题计算题
19．求立体的表面积．
（1）计算由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-a z=0$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{2}$ 所围立体的表面积．
（2）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a z$ 与 $\displaystyle z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}(a>0)$ 所围立体的表面积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle z^{2}=2 x$ 所截下那部分的面积．
（4）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所截下那部分的面积．
（5）求圆锥面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 在圆柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 内那部分的面积．
（6）求球面 $\displaystyle z=a x y$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 内部的面积．
（7）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 包含在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b \leqslant a)$ 内的那部分之面积．
（8）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 内部的面积．
（9）有一个半径为 $\displaystyle R$ 的球，其球心在一个圆柱上，这个圆柱体的底面半径为 $\displaystyle \frac{R}{2}$ ，求球面被圆柱体所截部分的面积．
（10）设 $\displaystyle a>c>0$ ，求椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的表面积．
（1）计算由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-a z=0$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{2}$ 所围立体的表面积．
（2）求由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a z$ 与 $\displaystyle z=2 a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}(a>0)$ 所围立体的表面积．
（3）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle z^{2}=2 x$ 所截下那部分的面积．
（4）求曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所截下那部分的面积．
（5）求圆锥面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 在圆柱体 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant x$ 内那部分的面积．
（6）求球面 $\displaystyle z=a x y$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 内部的面积．
（7）计算曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 包含在 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b \leqslant a)$ 内的那部分之面积．
（8）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 含在柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 内部的面积．
（9）有一个半径为 $\displaystyle R$ 的球，其球心在一个圆柱上，这个圆柱体的底面半径为 $\displaystyle \frac{R}{2}$ ，求球面被圆柱体所截部分的面积．
（10）设 $\displaystyle a>c>0$ ，求椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的表面积．
上海大学 2000西安交大 2001华东师范大学 2002广西大学 2002武汉理工大学 2002西北大学 2002上海大学 2004中国科学院 2004
+11
第20题证明题
20．证明抛物面 $\displaystyle z=1+x^{2}+y^{2}$ 上任意点处的切平面与抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体体积为定值．
昆明理工大学 2004
第21题求解题
21．由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成一立体，其体密度为 $\displaystyle \mu=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，求此立体的质量 $\displaystyle M$ ．
西安电子科技大学 2007
第22题求解题
22．设地球是半径为 $\displaystyle R$ 的圆球，地面上（即地球上空）距地球中心 $\displaystyle r(r \geqslant R)$ 处空气密度 $\displaystyle \rho(r)=\rho_{0} \mathrm{e}^{k\left(1-\frac{r}{R}\right)},\left(\rho_{0}, k\right.$ 为正常数），求地球上空空气质量。中科院 2007）
中国科学院 2007
第23题求解题
23．设球面 $\displaystyle \Sigma$ 的半径为 $\displaystyle R$ ，球心在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 上．问当 $\displaystyle R$ 何值时，$\displaystyle \Sigma$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 内部的面积最大？并求该最大面积．
中南大学 2011
第24题求解题
24．求下列导数或极限．
（1）若 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，积分区域 $\displaystyle V$ 由闭曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}$ 所围成。（1）求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t^{-5} F(t)$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，积分区域 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant r^{2}$ ．试求：
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{r^{3}} \iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \sin \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z . }
$$
（4）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2} \leqslant t^{2}, f(t)$ 为连续函数，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, \\ 0 \leqslant z \leqslant 1,\end{array} F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V\right.$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle f(0)=0, \Omega: 0 \leqslant z \leqslant h, x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}(t>0), F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{2}}$ ．
（1）若 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle f$ 是可微函数，积分区域 $\displaystyle V$ 由闭曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}$ 所围成。（1）求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t^{-5} F(t)$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。其中 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，积分区域 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant r^{2}$ ．试求：
$$
\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{r^{3}} \iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \sin \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z . }
$$
（4）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2} \leqslant t^{2}, f(t)$ 为连续函数，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（5）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle \Omega$ 为空间区域 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, \\ 0 \leqslant z \leqslant 1,\end{array} F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V\right.$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(t)$ 为连续函数，$\displaystyle f(0)=0, \Omega: 0 \leqslant z \leqslant h, x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}(t>0), F(t)=\iiint_{\Omega}\left(z^{2}+f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} V$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{2}}$ ．
北京大学 2001广西大学 2002上海师范大学 2004武汉理工大学 2004湖南大学 2004复旦大学 2005太原科技大学 2005湖南师范大学 2005
+12
第25题证明题
25．证明下列各题．
（1）设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1)=1$ ，记 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，证明：$\displaystyle F^{\prime}(1)=4 \pi$ ．
（2）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上有连续导数，并且 $\displaystyle \varphi(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(r)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<r^{2}} \varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， $\displaystyle (r \geqslant 0)$ ，证明 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle r=0$ 处三次可微，并求 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)$ 的右导数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续且恒大于 $\displaystyle 0, F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ， $\displaystyle D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．证明：（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V=4 \pi \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r$ ；（2）$\displaystyle F(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$上的单调函数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，$\displaystyle \varphi(t)=\frac{\iint_{x^{2}+y^{2}=t^{2}} f(z) \mathrm{d} S}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle \varphi(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格单调增加的连续函数．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续正值函数，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle F(t)(t>0)$ 是严格单调减函数．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上连续且恒大于零，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ， $\displaystyle G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^{t} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}, D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．讨论 $\displaystyle F(t)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内的单调性，并证明当 $\displaystyle t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
（1）设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1)=1$ ，记 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，证明：$\displaystyle F^{\prime}(1)=4 \pi$ ．
（2）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上有连续导数，并且 $\displaystyle \varphi(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(r)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<r^{2}} \varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， $\displaystyle (r \geqslant 0)$ ，证明 $\displaystyle f(r)$ 在 $\displaystyle r=0$ 处三次可微，并求 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)$ 的右导数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续且恒大于 $\displaystyle 0, F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ， $\displaystyle D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．证明：（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V=4 \pi \int_{0}^{t} f\left(r^{2}\right) r^{2} \mathrm{~d} r$ ；（2）$\displaystyle F(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$上的单调函数．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数，$\displaystyle \varphi(t)=\frac{\iint_{x^{2}+y^{2}=t^{2}} f(z) \mathrm{d} S}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle \varphi(t)$ 是区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格单调增加的连续函数．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续正值函数，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}<t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\iint_{x^{2}+y^{2}<t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ．证明：$\displaystyle F(t)(t>0)$ 是严格单调减函数．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, \infty)$ 上连续且恒大于零，$\displaystyle F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V}{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}$ ， $\displaystyle G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^{t} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x}$ ，其中 $\displaystyle \Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}, D(t)=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ ．讨论 $\displaystyle F(t)$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内的单调性，并证明当 $\displaystyle t>0$ 时，$\displaystyle F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$ ．
华中科技 2004中国科学院 2005华中科技 2006福建师范大学 2006徐州师范大学 2008福州大学 2009
第26题求解题
26．求下列导数或极限．
（1）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f(x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, f(u)$ 有一阶连续导数，积分区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant t, 0 \leqslant y \leqslant t$ ， $\displaystyle 0 \leqslant z \leqslant t$ 所围成．求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（2）计算 $\displaystyle f(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}}(x y z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z(t>0)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(t)$（只需写出 $\displaystyle f^{\prime}(t)$ 的积分表达式）．
（1）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f(x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, f(u)$ 有一阶连续导数，积分区域 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant t, 0 \leqslant y \leqslant t$ ， $\displaystyle 0 \leqslant z \leqslant t$ 所围成．求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．
（2）计算 $\displaystyle f(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}}(x y z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z(t>0)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(t)$（只需写出 $\displaystyle f^{\prime}(t)$ 的积分表达式）．
上海大学 2001北京理工大学 2004湖南大学 2009
第27题求解题
27．求 $\displaystyle \lim _{u \rightarrow+\infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{u} \mathrm{~d} z \iint_{D} \frac{\sin \left(z \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $\displaystyle D: 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4^{2}$ ．
西北大学 2006